実用・二項係数

TL;DR

\binom{n}{k}

n\k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 1 0 0 0 1 -4 10 -20 35
-3 -3 1 0 0 1 -3 6 -10 15
-2 3 -2 1 0 1 -2 3 -4 5
-1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
2 0 0 0 0 1 2 1 0 0
3 0 0 0 0 1 3 3 1 0
4 0 0 0 0 1 4 6 4 1

主な対象読者

重複組合せ \def\multichoose#1#2{\left(\kern-.3em\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{#1}{#2}\right)\kern-.3em\right)}\multichoose{0}{0} を計算しようとしてやらかしたことがある人．

みんな納得すること

n \in \mathbb{Z},\, k \in \mathbb{Z}_{\ge0} のとき， \binom{n}{k} = [x^k] (1+x)^n = \frac{n(n-1) \cdots (n-k+1)}{k!} ということでよいと思います．

流儀 1

k \in \mathbb{Z}_{\lt0} のとき (1+x)^n の k 次の項なんてものはないので， \binom{n}{k} = 0 としてしまうのはありかもしれません．こうすると，二項係数の基本的な性質は以下のようになります：

  • \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} は n \in \mathbb{Z}_{\lt0} では必ずしも成り立たない
  • \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} はすべての n, k \in \mathbb{Z} で成り立つ (これは (1+x)^n = (1+x)^{n-1} (1+x) から直ちに従います)

流儀 2

\multichoose{n}{k} = \binom{n+k-1}{k} を \binom{k+n-1}{n-1} にしたいことはしばしばあると思います．これをすると n, k \in \mathbb{Z}_{\ge0} では (n, k) = (0, 0) のときだけ \binom{-1}{-1} になって大変です．確かに \binom{n}{k} は k と n-k について対称であってほしい感じがあるので，そういう方向で決めていくと， n \in \mathbb{Z}_{\lt0},\, k \in \mathbb{Z} に対して，

  • k \ge 0 のとき \binom{n}{k} = (-1)^k \binom{-n+k-1}{k}
  • n-k \ge 0 のとき \binom{n}{k} = (-1)^{n-k} \binom{-k-1}{n-k}

とするのがよさそうです．間の n \lt k \lt 0 ですが，全部 0 にすると以下を満たすことがわかり，都合がよさそうです：

  • \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} が n \in \mathbb{Z}_{\lt0} はすべての n, k \in \mathbb{Z} で成り立つ
  • \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} は (n, k) = (0, 0) を除くすべての n, k \in \mathbb{Z} で成り立つ

\binom{-1}{-1} = 1 を要請する時点でこの例外はやむを得ません．二項係数の式変形で \binom{0}{0} \ne \binom{-1}{-1} + \binom{-1}{0} にだけ注意すればよいのは，符号をいちいち気にするよりは楽かもしれません．

※追記 (2021/06/24) k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1} もすべての n, k \in \mathbb{Z} で成り立ちます．この式は個人的には \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} の形が覚えやすいです．

お気持ち

a \in \mathbb{Z}_{\lt0} に対し \frac{1}{a!} = 0 であると考えることがよくあります (例えば [1] の Chapter 1 の演習問題など)．これで n, k \in \mathbb{Z}_{\ge0} のときは \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} がある意味正しくなります．

負整数の階乗が分子に来る場合は，分母と打ち消しあって有限の比になるように考えます． \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 であるかのように， \frac{(-5)!}{(-8)!} = (-5) \cdot (-6) \cdot (-7) みたいにすると，流儀 2 がこれで上手く説明できます．

ここでは「それっぽい」ことを雰囲気で書きました．ちゃんとやるなら \binom{n}{k} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1) \Gamma(n-k+1)} によってガンマ関数の特異点以外は n, k \in \mathbb{C} で定義できて，それを n \in \mathbb{Z}_{\lt0},\, k \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z} な点以外で連続になるようにすると，流儀 2 で定めたような値になるようです ([2])．Wolfram 言語の Binomial はそういう複素関数として計算してくれます．

参考文献

[1] Stanley, Richard P. "Enumerative Combinatorics Volume 1 second edition." Cambridge studies in advanced mathematics (2011).

[2] Weisstein, Eric W. "Binomial Coefficient." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html