無限直積の双対加群こわい

概要・参考文献

$\operatorname{Hom}_\mathbb{Z} (\prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) = \bigoplus_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}$ を示します．

https://mathoverflow.net/q/10239 ←これを読み解いたよというような話です．

何がすごいの？

$\operatorname{Hom}_\mathbb{Z} (\bigoplus_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) = \prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}$ は簡単です．直和の普遍性と，同一視 $\operatorname{Hom}_\mathbb{Z} (\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$ ですね．こっちは $\mathbb{Z}$ を任意の単位的可換環にしても成り立ちます．一方，直積からの準同型というのは，なんだかよくわからないものです．

また， $\mathbb{Z}$ じゃなくて体 $K$ だったら様子が異なってきます．無限次元線型空間の双対をとると次元が真に大きくなることが知られていて， $\dim_K \bigoplus_{i=0}^{\infty} K \lt \dim_K \prod_{i=0}^{\infty} K \lt \dim_K \operatorname{Hom}_K (\prod_{i=0}^{\infty} K, K)$ です．

体だったら基底がとれるので双対をとれば単に大きくなるところが， $\mathbb{Z}$ だと直積からの準同型というのが意外ときつい制約で，小さくなってなぜかちょうど直和くらいになってしまう．そんな不思議な定理です．

証明の流れ

準同型 $\Phi\colon \operatorname{Hom}_\mathbb{Z} (\prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}, \mathbb{Z}) \to \prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}$ を $f \mapsto (f(e_i))$ ( $e_i$ は第 $i$ 成分だけ $1$ で他が $0$ のやつ) で定めたとき，

$\Phi$ が単射であること
$\operatorname{Im} \Phi = \bigoplus_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}$ であること

を示します．この 1. は当たり前と思いきやそうではなくて，各 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ に対して $f(e_i)$ を決めたからといって $f((x_i)_i) = \sum_{i=0}^\infty x_i f(e_i)$ とはできない (有限和になってない！) のが罠です．直積の厄介なところですね．

1. 単射性

$\Phi(f) = 0$ ，つまり任意の $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ に対して $f(e_i) = 0$ であることを仮定して， $f = 0$ を示す．

任意の $x = (x_i)_i \in \prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}$ をとる．各 $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ について， $2^i$ と $3^i$ は互いに素なので， $x_i = 2^i a_i + 3^i b_i$ となる $a_i, b_i \in \mathbb{Z}$ がとれる．

任意の $n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ に対して， $(2^i a_i)_i = \sum_{i=0}^{n-1} 2^i a_i e_i + 2^n (\underbrace{0, \ldots, 0}_n, 2^0 a_n, 2^1 a_{n+1}, \ldots)$ なので，仮定より $f((2^i a_i)_i) = 2^n f(\underbrace{0, \ldots, 0}_n, 2^0 a_n, 2^1 a_{n+1}, \ldots) \in 2^n \mathbb{Z}$ ．よって $f((2^i a_i)_i) = 0$ ．

同様に $f((3^i b_i)_i) = 0$ なので， $f(x) = f((2^i a_i)_i) + f((3^i b_i)_i) = 0$ ．以上で $f = 0$ が示せた．

これは， $\mathbb{Z}$ の「PID だが局所環ではない」という性質を使っています．体でない局所環で反例が作れるかは，よくわかりません……．

2. 像が直和に入ること

任意に $f \in \operatorname{Hom}_\mathbb{Z} (\prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}, \mathbb{Z})$ をとったとき， $\Phi(f) \in \bigoplus_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}$ ，つまり $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ のうち有限個を除いて $f(e_i) = 0$ となることを示す．

$x = (x_i)_i \in \prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z}$ を， $0 \lt x_0 \lt x_1 \lt \cdots$ かつ $x_0 \mid x_1 \mid \cdots$ (整除) かつ任意の $n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ で $\sum_{i=0}^{n-1} x_i \lvert f(e_i) \rvert \lt \frac12 x_n$ が成り立つようにとれる (順番に，十分大きい倍数をとっていけばよい)．

任意の $n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ について， $x = \sum_{i=0}^{n-1} x_i e_i + x_n (\underbrace{0, \ldots, 0}_n, \frac{x_n}{x_n}, \frac{x_{n+1}}{x_n}, \ldots)$ なので， $y_n = (\underbrace{0, \ldots, 0}_n, \frac{x_n}{x_n}, \frac{x_{n+1}}{x_n}, \ldots) \,(\in \prod_{i=0}^{\infty} \mathbb{Z})$ とおくと $f(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x_i f(e_i) + x_n f(y_n)$ となる．すると三角不等式と $x_i$ のとり方より $x_n \lvert f(y_n) \rvert \lt \lvert f(x) \rvert + \frac12 x_n$ が成り立つ．ここで，十分大きい $n$ では $\lvert f(x) \rvert \lt \frac12 x_n$ なので $f(y_n) = 0$ である．

$x_n y_n = x_n e_n + x_{n+1} y_{n+1}$ なので，十分大きい $n$ では $f(e_n) = f(y_n) - \frac{x_{n+1}}{x_n} f(y_{n+1}) = 0$ となり，示すべきことが得られた．

お気持ちとしては，「めっちゃ増えてくような無限列も有限値に送らないといけないので，それっぽい列をとれば後ろの方の影響があってはならないことが言える」みたいな感じです．

mathoverflow にリンクが貼られている http://www-users.mat.umk.pl/~gregbob/seminars/2008.11.07b.pdf では不等式評価を用いずに，こちらも局所環でない PID について示そうとしているのですが，PDF でいう $q \not\mid \varphi(f)$ のところが間違っています ( $\varphi(f^{\le 0})$ が $f_0$ ではなく $f_0 \varphi(e_0)$ なので)． $\mathbb{Z}$ の場合なら $p$ とか $q$ とか好きに決められるので簡単に直せるのですが，一般にはダメそうです．上手く修正できる気もしますがあまり考えていません．